Dérivation en Première : méthode et erreurs fréquentes
Étudier les variations d’une fonction se fait toujours en trois temps : justifier qu’elle est dérivable et calculer f′(x), étudier le signe de f′(x), en déduire le tableau de variations. C’est un exercice très classique de la partie 2 de l’épreuve anticipée ; les points se perdent surtout sur la justification du signe et sur les intervalles.
Ce qu’il faut savoir faire
- Interpréter le nombre dérivé f′(a) comme coefficient directeur de la tangente ; écrire y = f′(a)(x − a) + f(a).
- Dériver les fonctions usuelles et utiliser les règles (somme, produit, quotient, u ↦ u(ax + b)).
- Étudier le signe de f′ et dresser le tableau de variations.
- Trouver un extremum ; résoudre un problème d’optimisation simple.
La méthode
- Justifier la dérivabilité : « f est dérivable sur I comme somme (produit, quotient…) de fonctions dérivables sur I. »
- Calculer f′(x) et la mettre sous une forme dont le signe se lit : factorisée, ou trinôme.
- Étudier le signe : tableau de signes, discriminant, ou facteur toujours positif (un carré, une exponentielle).
- Conclure sur un intervalle : « f′ > 0 sur ]a ; b[, donc f est strictement croissante sur [a ; b]. »
- Compléter le tableau avec les valeurs aux bornes et aux extremums, calculées à partir de f (pas de f′).
Exemple court : f(x) = x³ − 3x sur ℝ. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) ; f′ est négative sur ]−1 ; 1[ et positive ailleurs ; f admet un maximum local en −1 (f(−1) = 2) et un minimum local en 1 (f(1) = −2).
Les erreurs fréquentes
| Erreur | Réflexe correct |
|---|---|
| Dérivée d’un produit : (uv)′ = u′v′ | (uv)′ = u′v + uv′ |
| Dérivée d’un quotient sans le carré au dénominateur | (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² |
| Conclure sur la monotonie à partir de f′ sur une réunion d’intervalles | conclure intervalle par intervalle (la fonction inverse n’est pas décroissante sur ℝ*) |
| Valeurs du tableau calculées avec f′ | les valeurs du tableau sont des images par f |
| Tangente écrite y = f′(a)x + f(a) | y = f′(a)(x − a) + f(a) |
| Dériver √x en 0 | la fonction racine n’est pas dérivable en 0 |
| Signe de f′ affirmé sans justification | tableau de signes ou argument écrit |
Pour les hypothèses à vérifier, voir les conditions de validité ; pour la rédaction, rédiger une démonstration.
Plan d’entraînement : 10 minutes par jour
- Jours 1–3 : dérivées usuelles et règles de calcul (dix dérivées par jour, sans calculatrice).
- Jours 4–5 : équation de tangente.
- Jours 6–8 : signe de f′ et tableau de variations ; une étude rédigée en entier.
- Jours 9–10 : extremum et optimisation.
Pour le reste de la préparation : Préparer l’EAM 2027.
Dans l’application Maths & Physique, les chapitres sur la dérivation et les variations proposent un cours, une copie modèle rédigée en cinq étapes et des exercices sur trois niveaux.