Probabilités conditionnelles : arbre, tableau, erreurs (EAM)
P_A(B) est la probabilité de B quand on sait que A est réalisé : P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0. Toute la difficulté est de lire dans l’énoncé ce qui est « sachant » et ce qui est « et » : « parmi les A, 30 % sont B » donne P_A(B) = 0,3, pas P(A ∩ B).
Ce qu’il faut savoir faire
- Lire une probabilité conditionnelle dans un tableau croisé d’effectifs.
- Construire un arbre pondéré à partir d’un énoncé et le compléter (la somme des branches issues d’un même nœud vaut 1).
- Calculer P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) en suivant un chemin.
- Appliquer la formule des probabilités totales : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B).
- « Inverser l’arbre » : calculer P_B(A) à partir de l’arbre.
- Reconnaître deux événements indépendants : P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
La méthode
- Nommer les événements par une lettre et une phrase : « M : la personne est malade. »
- Traduire chaque donnée : un pourcentage de la population totale donne P(·) ; un pourcentage « parmi les … » donne une probabilité conditionnelle.
- Construire l’arbre : premier niveau = la condition, second niveau = ce qui est conditionné.
- Calculer : multiplier le long d’un chemin, additionner les chemins qui mènent au même événement.
- Conclure par une phrase qui reprend le contexte.
Exemple court : 40 % des élèves d’un lycée font de la natation ; parmi eux, 25 % sont en Première. P(N ∩ Pr) = 0,4 × 0,25 = 0,1. Si, parmi les autres élèves, 30 % sont en Première, P(Pr) = 0,1 + 0,6 × 0,3 = 0,28.
Les erreurs fréquentes
| Erreur | Réflexe correct |
|---|---|
| Confondre P_A(B) et P(A ∩ B) | « sachant », « parmi » : conditionnelle ; « et » : intersection |
| Confondre P_A(B) et P_B(A) | ce n’est pas la même population de référence |
| Branches d’un même nœud dont la somme ne vaut pas 1 | compléter : P_A(B̄) = 1 − P_A(B) |
| Additionner le long d’un chemin | multiplier le long d’un chemin, additionner entre chemins |
| Oublier un chemin dans les probabilités totales | lister tous les chemins qui mènent à l’événement |
| Confondre indépendants et incompatibles | incompatibles : P(A ∩ B) = 0 ; indépendants : P(A ∩ B) = P(A) × P(B) |
Plan d’entraînement : 10 minutes par jour
- Jours 1–2 : tableaux croisés ; lire P(A), P(A ∩ B), P_A(B).
- Jours 3–5 : traduire un énoncé en arbre (sans calcul), puis compléter les branches.
- Jours 6–8 : chemins et probabilités totales.
- Jours 9–10 : inverser l’arbre et tester l’indépendance ; une question rédigée en entier.
Pour le reste de la préparation : Préparer l’EAM 2027.
Dans l’application Maths & Physique, les probabilités conditionnelles sont entraînées dans la série d’automatismes du jour (tableaux et arbres) et dans un chapitre complet avec cours, copie modèle et exercices sur trois niveaux.