Rédiger une démonstration en maths au lycée : règles et erreurs
Une démonstration bien rédigée se lit comme un texte : on déclare chaque objet avant de l’utiliser, on annonce ce qu’on va montrer, on cite le théorème en vérifiant ses hypothèses, on relie les calculs par des mots, et on termine par une phrase qui répond à la question. Le calcul juste ne suffit pas : à partir de la session 2027, la maîtrise de la langue et l’organisation du raisonnement comptent pour 2 points sur 20 dans les épreuves écrites.
Cinq étapes
- Les objets : déclarer ce qu’on manipule. « Soit x un réel tel que x > 1. »
- L’annonce : dire ce qu’on va démontrer. « Montrons que f est croissante sur I. »
- Le théorème : le nommer et vérifier ses hypothèses. « f est dérivable sur I et f′ ≥ 0 sur I, donc f est croissante sur I. »
- Le calcul : des étapes reliées par des mots (donc, or, d’où, ainsi).
- La conclusion : une phrase complète. « Ainsi, f est croissante sur I. » / « L’ensemble des solutions est S = {…}. »
Les règles de rédaction
| Écrire | Plutôt que |
|---|---|
| « Soit x un réel tel que x > 1. » | « x > 1 donc… » (d’où vient x ?) |
| « On pose X = x². » / « Notons Δ le discriminant. » | introduire X sans un mot |
| « Soit n un entier naturel. Montrons que… » | commencer par « ∀ n ∈ ℕ, … » comme une phrase |
| « …, donc f′(x) > 0. » | « … ⇒ f′(x) > 0 » au milieu d’une phrase |
| des phrases avec sujet et verbe | une colonne de formules sans liens |
| « f′ > 0 sur ]0 ; +∞[, donc f est croissante sur ]0 ; +∞[. » | « f′ > 0 donc f croissante » sans intervalle |
Cas fréquents en Première et Terminale
- Second degré : « Le discriminant vaut … ; il est strictement positif, donc l’équation a deux solutions. » Pour le signe d’un trinôme, citer la règle du signe en précisant le signe du coefficient a.
- Dérivation : avant de dériver, « f est dérivable sur … comme … ». Un tableau de variations s’accompagne d’une phrase.
- Récurrence : écrire explicitement la propriété. « Pour tout entier naturel n, notons P(n) : « uₙ ≥ 1 ». » Puis Initialisation, Hérédité (« Soit n un entier naturel tel que P(n) est vraie ; montrons que P(n+1) est vraie »), Conclusion.
- Résolution : terminer par l’ensemble des solutions, pas par une valeur isolée.
Les erreurs fréquentes
- Une variable jamais déclarée.
- Un théorème appliqué sans vérifier ses hypothèses (dérivabilité, intervalle, signe).
- « f′ > 0 donc f croissante » sur une réunion d’intervalles : la fonction inverse a une dérivée négative partout où elle est définie, mais elle n’est pas décroissante sur ℝ*.
- Diviser par une quantité qui peut être nulle : on perd des solutions.
- Multiplier une inégalité par un nombre de signe inconnu sans distinguer les cas.
- Une hérédité qui suppose ce qu’il faut démontrer (« supposons que c’est vrai pour tout n »).
- Des symboles à la place des mots (⇒, ∀, ∃ au milieu des phrases).
- Pas de conclusion, ou une conclusion qui ne répond pas exactement à la question.
Vérifier sa démonstration
- Chaque lettre est-elle déclarée ?
- Chaque théorème est-il cité avec ses hypothèses vérifiées ?
- Peut-on lire la démonstration à voix haute comme un texte ?
- La dernière phrase répond-elle à la question posée ?
Dans l’application Maths & Physique, chaque copie de mathématiques suit ces cinq étapes et reçoit deux appréciations séparées : le résultat et la démonstration.