Second degré en Première : méthode et erreurs fréquentes
Pour un trinôme ax² + bx + c (avec a ≠ 0), tout part du discriminant Δ = b² − 4ac : son signe donne le nombre de racines, et le signe de a donne le signe du trinôme à l’extérieur des racines. Mais avant de calculer Δ, regardez si une méthode plus rapide existe : facteur commun, identité remarquable, racine évidente.
Ce qu’il faut savoir faire
- Passer de la forme développée à la forme canonique a(x − α)² + β, et lire le sommet de la parabole (α ; β).
- Résoudre ax² + bx + c = 0 ; factoriser le trinôme quand il a des racines.
- Étudier le signe d’un trinôme et résoudre une inéquation du second degré.
- Utiliser la somme et le produit des racines (−b/a et c/a) pour vérifier ou trouver une racine.
La méthode
- Vérifier que a ≠ 0 (sinon ce n’est pas un trinôme).
- Chercher un raccourci : x² − 5x = x(x − 5) ; x² − 16 = (x − 4)(x + 4).
- Sinon, calculer Δ et le rédiger : « Le discriminant vaut Δ = … ; il est strictement positif, donc l’équation admet deux solutions. »
- Racines : x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a) si Δ > 0 ; une racine double −b/(2a) si Δ = 0 ; aucune racine réelle si Δ < 0.
- Signe : le trinôme est du signe de a, sauf entre les racines (quand elles existent).
- Conclure par l’ensemble des solutions.
Exemple court : x² − x − 6. Δ = 1 + 24 = 25 > 0 ; racines (1 − 5)/2 = −2 et (1 + 5)/2 = 3. Donc x² − x − 6 = (x + 2)(x − 3), négatif sur ]−2 ; 3[ et positif ailleurs (a = 1 > 0).
Les erreurs fréquentes
| Erreur | Réflexe correct |
|---|---|
| Avec b = −3, écrire b² = −9 | b² = (−3)² = 9 : parenthèses autour de b |
| Calculer Δ pour x² − 9 = 0 | solution directe : x = 3 ou x = −3 |
| Oublier le coefficient a dans la factorisation : 2x² − … = (x − x₁)(x − x₂) | a(x − x₁)(x − x₂) |
| Signe du trinôme donné sans regarder a | « du signe de a à l’extérieur des racines » |
| Δ < 0, donc « pas de solution » sans préciser | « l’équation n’a pas de solution réelle : S = ∅ » |
| Formule des racines appliquée avec Δ négatif | √Δ n’existe pas dans les réels |
Rédiger
Une phrase avant la formule (« Le discriminant vaut… donc… ») et une conclusion complète rendent le raisonnement visible ; à l’épreuve anticipée, formuler un raisonnement compte dans les 2 points de maîtrise de la langue. Voir rédiger une démonstration.
Plan d’entraînement : 10 minutes par jour
- Jours 1–2 : repérer les raccourcis (facteur commun, identité remarquable) sur dix trinômes.
- Jours 3–5 : discriminant et racines, avec une phrase de rédaction à chaque fois.
- Jours 6–7 : forme canonique et sommet.
- Jours 8–10 : signe et inéquations ; une question rédigée en entier chaque jour.
Pour le reste de la préparation : Préparer l’EAM 2027.
Dans l’application Maths & Physique, le chapitre sur le second degré propose un cours, une copie modèle rédigée, des exercices sur trois niveaux et deux appréciations séparées pour chaque copie : le résultat et la démonstration.