Suites numériques en Première : méthode et erreurs fréquentes
Devant une suite, la première question est : comment passe-t-on d’un terme au suivant ? En ajoutant toujours le même nombre r, la suite est arithmétique ; en multipliant toujours par le même nombre q, elle est géométrique. Tout le reste (terme général, somme, variations) découle de cette reconnaissance, qu’il faut justifier par un calcul.
Ce qu’il faut savoir faire
- Calculer des termes à partir d’une formule explicite ou d’une relation de récurrence.
- Reconnaître et justifier qu’une suite est arithmétique ou géométrique.
- Écrire le terme général : uₙ = u₀ + n·r ; vₙ = v₀ × qⁿ.
- Calculer 1 + 2 + … + n et 1 + q + … + qⁿ.
- Étudier le sens de variation (signe de uₙ₊₁ − uₙ).
- Modéliser une situation : évolution de t % par an (géométrique), augmentation fixe (arithmétique).
- Lire ou compléter un programme qui calcule des termes.
La méthode
- Calculer les premiers termes pour voir le mécanisme.
- Justifier : « Pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ − uₙ = 3, donc la suite est arithmétique de raison 3. » ou « vₙ₊₁ = 1,05 × vₙ, donc la suite est géométrique de raison 1,05. »
- Terme général : partir du premier terme donné (u₀ ou u₁) — attention au décalage d’indice.
- Variations : arithmétique selon le signe de r ; géométrique à termes positifs selon que q > 1 ou 0 < q < 1.
- Somme : compter le nombre de termes avant d’appliquer la formule.
Exemples courts :
- Une quantité de 200 augmente de 5 par mois : uₙ = 200 + 5n (arithmétique).
- Une quantité de 200 augmente de 5 % par an : vₙ = 200 × 1,05ⁿ (géométrique).
- 1 + 2 + … + 10 = 10 × 11 / 2 = 55.
Les erreurs fréquentes
| Erreur | Réflexe correct |
|---|---|
| Conclure « arithmétique » sur trois termes seulement | justifier pour tout n : uₙ₊₁ − uₙ = constante |
| uₙ = u₁ + n·r alors que la suite commence à u₁ | uₙ = u₁ + (n − 1)·r |
| Augmentation de 5 % modélisée par « + 5 » | une évolution en pourcentage donne une suite géométrique de raison 1 + t/100 |
| Raison de −3 % écrite −0,03 | q = 1 − 0,03 = 0,97 |
| Mauvais nombre de termes dans une somme (de u₀ à uₙ) | il y a n + 1 termes |
| Confondre uₙ₊₁ et uₙ + 1 | indice et valeur ne se confondent pas |
Plan d’entraînement : 10 minutes par jour
- Jours 1–3 : reconnaître et justifier (arithmétique, géométrique, ni l’une ni l’autre).
- Jours 4–6 : terme général et décalage d’indice.
- Jours 7–8 : sommes de termes.
- Jours 9–10 : modéliser une situation en une phrase et une formule ; une question rédigée en entier.
Pour le reste de la préparation : Préparer l’EAM 2027.
Dans l’application Maths & Physique, le chapitre sur les suites propose un cours, une copie modèle rédigée, des exercices sur trois niveaux et un problème long.